３．波の表示

　波はその変位ｙ(ｘ,ｔ)が位置ｘと時間ｔの二つの変数で表される関数であるが、波を観測する場合、位置を固定してその場における変位の時間変化を観測する場合と、ある時刻における各点での変位を観測する場合とが考えられる。
前者の場合はｘ＝一定で、その時間的変化はｙ(定数,ｔ)で表される。横軸に時間ｔ、縦軸にある位置における各時刻での変位を図示すると、波の山（谷）から山（谷）の区間が周期である。
　また後者の場合は、ｔ＝一定であり、その位置的変化はｙ(ｘ,定数)で表され、これは波のある時刻における波形を表す。従って、横軸に位置ｘ、縦軸にある時刻における各点での変位を図示すると、波の山（谷）から山（谷）の区間が波長である。

３．１　波動方程式

　正弦波の一般式は

で与えられる。ここで、Ａ、Ｔ、λおよびδはそれぞれ、振幅、周期、波長、初期位相である。上式はまた、振動数ｆと波数ｋ（＝2π／λ）を用いて、
ｙ(ｘ,ｔ)＝Ａ sin （２πｆｔ−ｋｘ＋δ）
と書き表わされる。さらに、角振動数ω（＝２πｆ）を用いると、
ｙ(ｘ,ｔ)＝Ａ sin （ωｔ−ｋｘ＋δ）
と表すこともできる。このように、正弦波の一般式はさまざまな表し方ができる。
さらにまた、ｺｻｲﾝ波は

であるから、位相がπ／2だけ異なった正弦波（ｻｲﾝ波）と見なすことができる。
　これまで、ｘ軸を伝わる一次元の波を考えてきたが、次に、空間を伝わる平面波について考える。波の伝わる方向にξ軸をとれば、
ｙ(ξ,ｔ)＝Ａ sin （ωｔ−ｋξ＋δ）
である。また、波の伝わる方向の単位ベクトルをｓ（ｓｘ ,ｓｙ ,ｓｚ)とすると、位置ｒ(＝ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ)における変位ｙ(ｒ,ｔ)は、ξ＝ｒ・ｓ＝ｘｓｘ+ｙｓｙ+ｚｓｚより、

ｙ(ｒ,ｔ)＝Ａ sin （ωｔ−ｋｒ・ｓ＋δ）

である。ここで、ｋｓ＝ｋを波数ベクトルといい、波の伝わる方向を向いている。波数ベクトルを用いると、空間を伝わる平面波は、
ｙ(ｒ,ｔ)＝Ａ sin （ωｔ−ｋ・ｒ＋δ）
と、表される。
　一般に波はｆ（ωｔ−ｋ・ｒ）の式で与えられるが、これは波動方程式と呼ばれる偏微分方程式

を満足する。ここで、

である。

３．２　波の複素数表示

正弦波は、オイラーの公式

を用いて、複素数の世界では、

と表すことができる。上式で、実部と虚部が共に現実の正弦波を表している。式において、

を複素振幅という。波の複素数表示は波動における計算を容易にする。

＜前へ戻る　　メニューに戻る　　次へ進む＞