２．剛体の回転運動

一端が回転軸に固定された、棒の回転運動について考える。まず、棒をｎ個の微小な部分にわけて考え、各部分は質点と見なせるものとする。回転軸からの位置ベクトルがｒｉの微小部分に作用する力をＦｉとすると、この微小部分に作用する力のモーメントＮｉはＮｉ＝ｒｉ×Ｆｉである。位置ベクトルｒｉの微小部分の質量をｍｉ、棒の角速度をωとすると、この微小部分の運動方程式は、
である。ここで、ｒｉωは考えている微小部分の速度である。両辺にｒｉを掛けると、 となる。上式はまた、 と、書き表される。そこで、棒全体の総和をとると、 となる。ここで、、、とおくと、
である。ここで、Iを棒の慣性モーメントという。慣性モーメントは剛体の回転運動に対する抵抗の大きさを表す。また、Ｎは棒全体に作用する力のモーメントである。このように、剛体の慣性モーメントIおよび回転の角加速度（）と、剛体に作用する力のモーメントＮとの関係を与える式をトルク方程式とよぶ。トルク方程式は剛体の回転運動について考える時の基礎となる方程式で、質点の運動におけるNewtonの運動方程式に対応するものである。

２．１　慣性モーメント

質量Ｍの質点に作用する力をＦ、その時刻での質点の速度をｖとすると、質点の運動方程式は、

である。一方、慣性モーメントIの剛体に作用する力のモーメントをＮ、その時刻での角速度をωとすると、

である。これら、並進運動と回転運動に対する運動方程式を比較すると、
Ｍ（質量）→Ｉ（慣性モーメント）、ｖ（速度）→ω（角速度）、Ｆ（力）→Ｎ（力のモーメント）
の対応が成り立つことがわかる。そして、慣性モーメントは質量に対応する量であるから、慣性モーメントは回転運動に対する慣性の大きさであることがわかる。ただし、慣性モーメントは質量とは違い、同じ大きさ、形の剛体でも、回転中心の位置や回転軸、質量分布などが異なるとその大きさは違ってくる。
　慣性モーメントは回転中心からの距離の自乗とその点の質量の積できまるので、大きさや形が同じでも、質量分布が回転中心からなるべく遠い位置になるような場合、その値は大きくなる。
　例えば、棒の真ん中を回転中心として棒を回転させる場合と、棒の一端を回転中心として回転させる場合とでは、後者の方が慣性モーメントは大きい。また、円板の中心に軸を立てて回転させる場合、同じ半径、同じ質量の円板では、質量が周辺に分布しているほうが慣性モーメントは大きい。

２．２　剛体の重心（質量中心）

剛体をある一点で支えたとき、丁度バランスする位置をその剛体の重心という。地上では剛体には一様に重力が作用するが、これは剛体に作用する、重力による重心の回りの力のモーメントの総和がつり合っていることを意味している。そこで、剛体を各部分が質点と見なせるくらい微小な部分に分割して考え、重心からの位置ｒｉ’における微小部分の質量をｍｉとすると、
である。ここで、原点Ｏからの重心の位置ベクトルをｒＧとし、微小部分の位置ベクトルをｒｉとすると、ｒｉ’＝ｒｉ−ｒＧである。これを前式に代入して、 である。上式を展開して整理すると、 となる。これより、
である。これは、剛体を質点系と見なしたときの質量中心の位置に他ならない。従って、剛体の重心はその点に全質量が集中している質点と見なすことができる。

２．３　角運動量

質量ｍの質点Ｐが、点Ｏから位置ベクトルｒの位置を速度ｖで運動しているとき、質点Ｐの位置ベクトルｒとその運動量ｍｖとのベクトル積を、質点Ｐの、点Ｏの回りの角運動量という。すなわち、角運動量Ｌは、
Ｌ＝ｒ×ｍｖ である。 　剛体が角速度ωで回転しているとき、回転中心Ｏからの位置ベクトルｒｉの微小部分の点Ｏの周りの角運動量Ｌｉは、微小部分の質量をｍｉとすると、 Ｌｉ＝ｒｉ×ｍi（ｒｉ･ω） である。そこで、剛体の角運動量Ｌは全体の総和をとって、 である。この場合も、質点の運動量Ｍｖとの対比より、Ｍ→Ｉ、ｖ→ωである。 　慣性モーメントＩの剛体のトルク方程式は、その角運動量Ｌを用いると、 より、
と、表すことができる。従って、剛体に作用する力のモーメントが０（Ｎ＝０）の場合、トルク方程式より、 Ｌ=Ｉω＝const. である。これは、力のモーメントが作用しない限り、剛体の角運動量は常に一定であることを示している。これを角運動量の保存則という。

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