３.さまざまな運動
３．１ 等速円運動
| 半径ｒの円周上を一定の速さｖで運動している物体を考える。この場合、運動の周期Ｔは２πｒ／ｖで、運動の角速度ωは２π／Ｔである。角速度とは単位時間当りの中心角の変化である。そこで、円運動の中心を原点とする直交座標ｘ-ｙをとると、物体の時刻ｔにおける座標（ｘ(t),ｙ(t)）は極座標を用いて、 ｘ(t)＝ｒ cos（ωｔ＋β） ｙ(t)＝ｒ sin（ωｔ＋β） と表される。ここで、βは時刻０における物体の偏角で、もし、物体が時刻０にｘ軸上にあったとすると、β＝０である。ここでは簡単のため、β＝０とする。 次に、物体のｘ、ｙ軸方向の速度は各座標を時間で微分して、 |
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  である。そこで、時刻ｔにおける物体の速さｖは、  と表される。さらにここで、物体の位置ベクトルｒ（ｘ(t),ｙ(t)）と速度ｖ（ｖｘ(t),ｖｙ(t)）との関係は、その内積が、 ｒ･ｖ＝ｘ(t)ｖｘ(t)＋ｙ(t)ｖｙ(t)＝０ となるので、互いに直交していることがわかる。すなわち、速度ベクトルは円運動の接線方向を向いている。また、運動の加速度は   である。従って、加速度の大きさａは、  |
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で、その方向は |
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３．２ ばねによる運動
| 滑らかな床の上に置かれた、質量の無視できる、ばね定数ｋのばねの一端を壁に固定し、他端に質量ｍの質点をとりつける。そして、ばねを水平にｘ０だけ引き伸ばし、静かに手を放す。すると、 (a)質点は、ばねの復元力をうけて平衡点へ加速度運動を始める。 (b)質点が平衡点に達すると、ばねからの力は０となるが、速度をもつ質点は慣性により、平衡点を通過し、ばねを押し縮めていく。 (c)ばねが押し縮められるに従って、ばねは質点の運動を阻止する方向に復元力を生じ、質点は減速し、やがて静止する。 (d)質点は押し縮められたばねからの復元力により、再び、平衡点に向かって逆向きに加速度運動を始める。 (e)平衡点を通過後、質点は、ばねを引き伸ばし、(a)の状態に戻る。 摩擦力や空気抵抗による減衰がない場合には、このような運動が際限無く、くり返される。このようなくり返しの運動を単振動とよんでいる。 |
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この運動を厳密に求めるには、運動方程式を立て、それを与えられた初期条件のもとで解く必要がある。平衡点からの質点の位置をｘ、そのときの速度をｖとすると、運動方程式は である。ここで、ｍは質点の質量で、ｋはばね定数である。さらに、位置ｘと速度ｖの関係は、  であるから、式（１２）は、  である。これは二階の微分方程式である。運動方程式が  の形になる運動を一般に、単振動とよぶ。そして、この運動方程式の一般解は、 ｘ＝Ｃ１sin(ω０ｔ)＋Ｃ2cos(ω０ｔ) である。ここで、Ｃ１、Ｃ２は初期条件で決まる積分定数である。そしてこの場合、初期条件は、ｘ(0)=ｘ０、ｖ(0)＝０であるから、 ｘ(0)＝Ｃ2 より、Ｃ2＝ｘ０ ｖ(0)＝ω０Ｃ1 より、 Ｃ1＝０となる。 従って、質点の運動は、 ｘ(t)＝ｘ０cos（ω０ｔ） となる。これは運動が、振幅ｘ０の往復運動であることを示している。 |
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３．３ 単振り子
長さｌの糸の先端に質量ｍのおもりをとりつけ、それを天井から吊るし、振らしたものを、単振り子という。振り子の振れ角が小さいときには、振り子の周期は振幅に関係無く一定となる。これを振り子の等時性という。そして、周期Ｔは振り子の長さｌだけで決まり、 である。長さｌ、質量ｍの単振り子のある時刻での振れ角をθとすると、運動方程式は、運動方向の接線加速度（平衡点からの距離ｓ＝ｌθの時間微分）とその方向の分力の関係より、  である。ここで、振れ角θが小さいときはsinθ≒θと近似できるので、運動方程式は  となり、ばねによる運動との比較からわかるように、  の単振動となる。そして、周期TはT=２π／ω０より、 となる。 |
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より、速度ベクトルに垂直で、円運動の中心を向いている。これを向心加速度という。すなわち、等速円運動はその加速度が常に円の中心を向き、大きさが一定の運動である。等速円運動の加速度はまた、ｖ＝ｒωの関係をもちいて、ｖ２／ｒと表すことも出来る。加速度が円運動の中心を向くということは力も中心の向きに働いているということである。この力がなくなると、物体は速度ベクトルの向きに等速度運動を始める。