力と運動

３．重力による運動

　地球上の物体には地球からの引力による鉛直下向きの力が常にはたらいている。この力を重力といい、質量ｍの物体にはたらく重力はｍである。ここで、は重力加速度とよばれ、その値は地球上でほぼ一定で９.８m/s²である。また、物体が受ける重力の大きさが物体の重さである。すなわち、物体の重さは力であって質量とは異なるので注意が必要である。質量１kgの物体は地球上では９.８Nの重力をうける。従って、質量１kgの物体の重さは９.８Nであり、これを１kgw（ｷﾛｸﾞﾗﾑ重）とよぶこともある。
地球上では物体には常に鉛直下向きに重力がはたらく。地上での物体の運動では、空気抵抗を無視すると、物体に作用する力はこの重力のみである。すなわち、重力が地上での物体の運動の原因である。地球上では物体はその重さに関係なく、一定の加速度で落下する。この加速度が重力加速度である。

３．１　自由落下運動

　物体をある高さから初速度０で落下させたときの物体の運動を自由落下運動という。

自由落下運動は一次元の運動である。そこで、物体の落下方向に落下距離のｚ軸をとり、時刻ｔにおける物体の落下位置をｚ(ｔ)とし、そのときの物体の速度をｖ(ｔ)する。すると、この場合の（Newtonの）運動方程式は物体の質量をｍとして、　　　　　（１）である。また速度ｖ(ｔ)を用いると、（Newtonの）運動方程式は　　　　　　（２）となる。そして物体の始めの位置を原点にとると、初期条件はｖ(0)＝０、ｚ(0)＝０である。また、両辺のｍを消去して、　　　　　　　　（３）となる。式（３）は物体の落下の加速度が質量ｍに関係なくであることを示している。そして、両辺を時間ｔで積分すると、より、ｖ(ｔ)＝ｔ＋C_１である。そして、初期条件よりC_１＝０であるので、この場合ｖ(ｔ)＝ｔ　　　　　　　（４）となる。さらに、式（４）は落下位置ｚ(ｔ)の時間微分を用いて、と表されるので、両辺を時間ｔで積分して、より、さらに初期条件より、C_２＝０である。従って、ｔ秒後の物体の落下位置ｚ(ｔ)は　　　　　　（５）である。すなわち、落下距離は時間の自乗に比例する。　次に、質量ｍの物体を高さｈから初速ｖ_０で真上に投げ上げたときの運動について考える。今度は鉛直上向きに物体の位置を表すｚ軸をとると、（Newtonの）運動方程式は　　　　（６）となる。そして初期条件はｖ(0)＝ｖ_０、ｚ(0)＝ｈである。式（６）を与えられた初期条件のもとで解くことにより物体の速度と位置を求めることができる。この場合、速度はｖ(ｔ)＝－ｔ＋ｖ_０（７）となり、位置は　　　　　　　（８）となる。さらに、式（７）から、物体が最高点に達する時刻ｔ_０はｖ(ｔ_０)＝０より、ｔ_０＝ｖ_０/ であり、その高さはである。

３．２　放物運動

質量ｍの物体をある高さから水平に初速度ｖ_０で投げ出したときの、物体の運動について考える。この場合の運動は二次元の運動で、水平方向にｘ軸、鉛直下向きにｙ軸をとる。物体に作用する力は鉛直下向きの重力だけなので、この場合の（Newtonの）運動方程式は
（１０）　　　　　　　（１１）となる。従って、水平方向には等速度運動、鉛直方向には自由落下運動をする。そして初期条件はそれぞれ、ｖ_ｘ(０)＝ｖ_０　　、ｖ_ｙ(０)＝０ｘ(０)＝０　　　、ｙ(０)＝０である。まず、水平方向の運動について考える。式（１０）の両辺を時間ｔで積分して、である。そしてここで、初期条件より、C_ｘ１＝ｖ_０であるので、水平方向の速度はｖ_ｘ(ｔ)＝ｖ_０である。また、時刻ｔにおける物体の水平位置ｘ(ｔ)は、初期条件ｘ(０)＝０より、ｘ(ｔ)＝ｖ_０ｔである。次に鉛直方向の運動は、自由落下運動であるので、速度と位置は初期条件より、ｖ_ｙ(ｔ)＝ｔとなる。また、任意の時刻における物体の速度ｖは、速度の合成より、ｖ＝*ｖ_ｘ＋ｖ_ｙ* で、その大きさはである。
次に、質量ｍの物体を水平から上向きに角度θ、初速度ｖ_０で投げ出した場合の放物運動について考える。この場合にも物体に作用する力は鉛直下向きの重力のみである。水平方向にｘ軸、鉛直方向にｙ軸を取ると、この場合の（Newtonの）運動方程式も
である。ただし、この場合の初期条件は、ｖ_ｘ(０)＝ｖ_０cosθ　　、ｖ_ｙ(０)＝ｖ_０sinθ ｘ(０)＝０　　、ｙ(０)＝0 である。以上より、水平方向の運動はｖ_ｘ(ｔ)＝ｖ_０cosθ ｘ(ｔ)＝ｖ_０cosθｔである。次に鉛直方向の運動は、ｖ_ｙ(ｔ)＝－ｔ＋ｖ_０sinθ となる。
この場合の運動の軌跡（ｘ(t)，ｙ(t)）は、これらの式から時間ｔを消去して、である。これを整理して、となる。従って、放物運動の軌跡は、を頂点とする二次曲線である。この軌跡は別に放物線とも呼ばれる。放物運動の頂点の座標から物体は、最高点がとなることがわかるが、これは物体を床から真上に初速度ｖ₀sinθで投げ上げたときの最高点と同じである。また、物体の水平到達距離は、となり、空気抵抗が無視できる場合には物体を４５°の角度で投げ出すと最も遠くまで飛ぶことがわかる。

３．３　空気抵抗を考慮した場合の自由落下運動

これまで、質量ｍの物体に作用する力が重力のみの運動を考えてきたが、空気中を運動している物体には重力の外に空気抵抗がはたらく。空気抵抗は物体の速度ｖに比例し、その運動を阻止する向きに作用する。すなわち、速度ｖの物体の受ける空気抵抗は－ｋｖと表される。そこで、鉛直方向下向きにｚ軸をとり、時刻ｔにおける速度をｖ(ｔ)とすると、この場合の運動方程式は、　　　　　　　（１２）となる。
そして、初期条件はｖ(０)＝０、ｚ(０)＝０である。ここで、とおくと、上記の式はとなる。ここで、両辺を時間ｔで積分すると、ここで、であるから、となり、さらに、となる。従って、物体の時刻ｔでの落下速度ｖ(ｔ)はとなるが、初期条件よりである。従って、となり、時間が経つに従って、物体の速度はに近づく。この速度を終端速度という。

終端速度では空気抵抗と重力がつり合うため物体は等速度運動をする。地表近くでの雨粒は終端速度に達しているため等速度で落下する。

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質量ｍの物体をある高さから水平に初速度ｖ_０で投げ出したときの、物体の運動について考える。この場合の運動は二次元の運動で、水平方向にｘ軸、鉛直下向きにｙ軸をとる。物体に作用する力は鉛直下向きの重力だけなので、この場合の（Newtonの）運動方程式は
（１０）　　　　　　　（１１）となる。従って、水平方向には等速度運動、鉛直方向には自由落下運動をする。そして初期条件はそれぞれ、ｖ_ｘ(０)＝ｖ_０　　、ｖ_ｙ(０)＝０ｘ(０)＝０　　　、ｙ(０)＝０である。まず、水平方向の運動について考える。式（１０）の両辺を時間ｔで積分して、である。そしてここで、初期条件より、C_ｘ１＝ｖ_０であるので、水平方向の速度はｖ_ｘ(ｔ)＝ｖ_０である。また、時刻ｔにおける物体の水平位置ｘ(ｔ)は、初期条件ｘ(０)＝０より、ｘ(ｔ)＝ｖ_０ｔである。次に鉛直方向の運動は、自由落下運動であるので、速度と位置は初期条件より、ｖ_ｙ(ｔ)＝ｔとなる。また、任意の時刻における物体の速度ｖは、速度の合成より、ｖ＝*ｖ_ｘ＋ｖ_ｙ* で、その大きさはである。
次に、質量ｍの物体を水平から上向きに角度θ、初速度ｖ_０で投げ出した場合の放物運動について考える。この場合にも物体に作用する力は鉛直下向きの重力のみである。水平方向にｘ軸、鉛直方向にｙ軸を取ると、この場合の（Newtonの）運動方程式も
である。ただし、この場合の初期条件は、ｖ_ｘ(０)＝ｖ_０cosθ　　、ｖ_ｙ(０)＝ｖ_０sinθ ｘ(０)＝０　　、ｙ(０)＝0 である。以上より、水平方向の運動はｖ_ｘ(ｔ)＝ｖ_０cosθ ｘ(ｔ)＝ｖ_０cosθｔである。次に鉛直方向の運動は、ｖ_ｙ(ｔ)＝－ｔ＋ｖ_０sinθ となる。
この場合の運動の軌跡（ｘ(t)，ｙ(t)）は、これらの式から時間ｔを消去して、である。これを整理して、となる。従って、放物運動の軌跡は、を頂点とする二次曲線である。この軌跡は別に放物線とも呼ばれる。放物運動の頂点の座標から物体は、最高点がとなることがわかるが、これは物体を床から真上に初速度ｖ₀sinθで投げ上げたときの最高点と同じである。また、物体の水平到達距離は、となり、空気抵抗が無視できる場合には物体を４５°の角度で投げ出すと最も遠くまで飛ぶことがわかる。